I went to buy groceries. I went grocery shopping.

I'll play tennis tomorrow willはその場で決めたことを表現するときに使う。 be going toは予め決まっていることを表現するときに使う。

The restroom is right down the hall. rightは「すぐ」と訳す。右に曲がるは”turn right" down the はまっすぐいったところにという意味

How've you been? How have you been の省略だが、haveとはいわない。